Algèbre linéaire Exemples

$3 y = 9 x + 6$ , $3 x - y = - 2$

Étape 1

Soustrayez $9 x$ des deux côtés de l’équation.

$3 y - 9 x = 6, 3 x - y = - 2$

Étape 2

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} - 9 & 3 & 6 \\ 3 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 3

Réduisez en ligne pour éliminer l’une des variables.

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Étape 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{9}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{9}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} \cdot - 9 & - \frac{1}{9} \cdot 3 & - \frac{1}{9} \cdot 6 \\ 3 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 3.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{2}{3} \\ 3 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{2}{3} \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 (- \frac{1}{3}) & - 2 - 3 (- \frac{2}{3}) \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x - \frac{y}{3} = - \frac{2}{3}$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{y}{3} = - \frac{2}{3} - x$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 3$ .

$- 3 (- \frac{y}{3}) = - 3 (- \frac{2}{3} - x)$

Étape 5.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Simplifiez $- 3 (- \frac{y}{3})$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{3}$ dans le numérateur.

$- 3 \frac{- y}{3} = - 3 (- \frac{2}{3} - x)$

Étape 5.3.1.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- y}{3} = - 3 (- \frac{2}{3} - x)$

Étape 5.3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot - 1 \frac{- y}{3} = - 3 (- \frac{2}{3} - x)$

Étape 5.3.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - y = - 3 (- \frac{2}{3} - x)$

Étape 5.3.1.1.2

Multipliez.

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Étape 5.3.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - 3 (- \frac{2}{3} - x)$

Étape 5.3.1.1.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - 3 (- \frac{2}{3} - x)$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez $- 3 (- \frac{2}{3} - x)$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 3 (- \frac{2}{3}) - 3 (- x)$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$y = - 3 (\frac{- 2}{3}) - 3 (- x)$

Étape 5.3.2.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$y = 3 (- 1) \frac{- 2}{3} - 3 (- x)$

Étape 5.3.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = 3 \cdot - 1 \frac{- 2}{3} - 3 (- x)$

Étape 5.3.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = - - 2 - 3 (- x)$

Étape 5.3.2.1.3

Multipliez.

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Étape 5.3.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y = 2 - 3 (- x)$

Étape 5.3.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$y = 2 + 3 x$

Étape 5.4

Remettez dans l’ordre $2$ et $3 x$ .

$y = 3 x + 2$

Étape 6

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(x, 3 x + 2)$

Étape 7

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 3 x + 2 \end{array}]$